素数的艺术：菲尔兹奖得主梅纳德与没有7的素数世界

发布时间：2025-04-05 10:30:06 来源：资讯360网 作者：半夏微凉

[译者 实验室的猫]：素数，作为数学中的“原子”，自古以来就吸引着人们无尽的好奇与探索，数学家们穷尽智慧，希望揭开其中更多蕴藏的深奥规律。然而，即便是在今天，许多关于素数的基本问题仍然未解。在下面这篇文章中，我们一起走进当代杰出菲尔兹奖得主詹姆斯·梅纳的研究领域，探讨他如何通过创新的方法，揭示质数分布中的一个迷人现象——那些不包含数字7的质数集合。你或许会问，一个看似简单的研究——找出不含数字7的素数——能有多重要？然而，正是在这样一个“无聊的”问题背后，隐藏着深刻的数学意义。梅纳德通过这一研究，不仅证明存在了无限多个这样的素数，还利用这一结果发展了新的数学技术。这些技术不仅适用于这个具体问题，更有望帮助解答一些数论中的根本性难题。原文：Marianne Freiberger，https://plus.maths.org/content/missing-7s译者：实验室的猫英国数学家詹姆斯·梅纳德(James Maynard)研究过那些不含数字 7 的素数。在 2016 年度的欧洲数学大会上，他宣布已经证明了此类素数的存在是无限的。这个序列从 2、3、5、11、13、19 开始，并将永无止境地继续下去。这一结果颇具趣味——但它的意义何在呢？为什么欧洲数学会认为这个发现值得授予梅纳德一项重要奖项？答案在于，素数在数学中的地位至关重要，而 Maynard 关于不含 7 的素数的研究成果，实际上是为了一种更广泛的数学问题提供验证。“尽管素数在某种程度上看似简单，但我们对它们的许多基本问题依然束手无策，”他解释说。“因此，我们在逐步发展新的方法，希望这些方法最终能解答更多更为根本的问题。关于不含数字 7 的素数的研究是我用来开发这些理解素数的方法的一个有趣的练手问题。”素数是只能被 1 和自身整除的自然数。由于这种不可分性，它们被称为数论中的“原子”。所有其他自然数都可以通过这些“原子”构造出来，也就是说，可以将它们表示为素数的乘积。例如，数字 24 可以分解为而数字 110 可以表示为类似地，所有其他自然数都可以表示为素数的乘积。早在古希腊时期，数学家们就已经知道这一点，并且还证明了素数的数量是无限的。无论在数轴上前进多远，总会找到新的素数。然而，关于素数的许多问题至今仍未解决。随着在数轴上向前推进，素数似乎变得越来越稀疏，但数学家们仍然无法准确地描述它们在自然数中的分布。这个问题与黎曼猜想有关，黎曼猜想是数学界最著名的未解之谜之一。在观察素数序列时，你还会注意到，偶尔它们会成对出现，且两者之间仅相差两个：例如 3 和 5、5 和 7、11 和 13、17 和 19，等等。虽然这些成对的素数随着数值的增大变得越来越稀少，但它们会最终停止出现吗？还是说这样的素数对永远存在？这就是著名的、尚未解决的孪生素数猜想的核心问题。Maynard 在柏林的欧洲数学大会上向数学家们解释他的成果。现在数学家已经能够证明间隔为 246 的素数对中存在无限多对，那么或许就有希望进一步证明孪生素数猜想：即在间隔为 2 的素数对中也存在无限多对。梅纳德关于不含 7 的素数的研究同样是迈向解决类似问题的一步。这个问题的核心在于，从具有某种特定、可能罕见的性质（例如不含数字 7）的数集中出发，探讨其中有多少个数是素数。孪生素数猜想的思路与此类似：从所有比某个质数小 2 的数字开始，探讨其中有多少个数本身就是素数。如果你能够证明这些数的数量是无限的，那么就证明了孪生素数猜想。然而，正如梅纳德坦言的那样，数学家们目前在解决这些问题上确实面临着巨大的困难。“找到具有特定性质，尤其是罕见性质的素数，是一个非常棘手的问题，通常我们还没有有效的办法解决，”他解释道。“绝大多数的大数中都包含大量的 7，因此若不含 7 则对于任何一个数来说都是一种罕见的性质。”尽管如此，梅纳德还是成功地证明了这类素数的数量是无限的，这无疑是一个了不起的成就。顺便说一句，数字 7 本身并无特别之处。Maynard 的证明同样适用于其他任何数字：因此，现在人们知道，不含数 1、2、3、4、5 等等的素数的数量也是无限的。素数的音乐与图像用于证明这些素数性质的数学工具，展示了数学的多样性与美感。其中一个工具可以追溯到 19 世纪的法国数学家约瑟夫·傅里叶(Jean Baptiste Fourier)。傅里叶当时并不是在研究数字，而是在研究热如何通过金属板传导。他将热源视作一系列规律振动的叠加，意外地开发出了处理任何类型振动(即波)的数学工具。如今，源于傅里叶的这些工具在工程领域有广泛应用，从解码无线电信号到将音乐数字化。波形图上图这是我们在计算机上用声音处理软件录制的 Maynard 访谈的波形。计算机将这种波形存储为一列数字。傅里叶分析的核心思想是将这种复杂的波形分解为表示纯声音的成分。但这些工具如何应用到数论中呢？“这与工程师使用傅里叶分析将音乐分解为单个音符的思路如出一辙，”梅纳德解释道。“如果有人在钢琴上弹奏一个和弦，那么实际上这是几个不同音符的叠加。傅里叶分析则是一种将这些音符分离成单个音符的方法。”其核心思想是，声音可以用数学表示，而傅里叶分析则将这种表示分解为代表各个音符的表达式。令人惊讶的是，工程师在研究声波时使用的这些数学技术，同样可以应用于非常抽象的纯数学问题。「译者」：梅纳德借用了傅里叶分析的思想，将其应用于数论问题上。他把素数的分布看作是某种“波动”或“振动”，并尝试用傅里叶分析来分解和研究这些波动。“我会对某些具有特定性质的素数的数量感兴趣，而傅里叶分析提供了一种将其描述变化波动的方式，”梅纳德说。“如果素数的数量以某种模式分布，我发现了这可能会是一种与素数相关的‘音符’。“从数学家持续关注的素数问题入手，杜•索托伊创作出了这样一部引人入胜、令人津津乐道的作品。无论你是否了解数学，你都能够享受这本书带来的阅读盛宴。”英国数学家马库斯•杜•索托伊（Marcus du Sautoy）写过畅销数学科普书籍《悠扬的素数：二百年数学绝唱黎曼假设》，里面描述了这种波与素数相关联的思想。这些单个波的响度，以及它们之间的和谐与否，是观察素数的一种非常有用的方法，并允许我们将物理世界的直觉应用于纯粹的抽象问题。”在另一种充满优雅的解释中，梅纳德将他所研究的“素数的音乐”与几何图像联系在一起。一个长方体坐落在一个晶格结构的点阵上。Maynard通过观察长方体内的晶格点数量来判断方程中是否存在那些可能使方程变得更复杂或难以处理的项。他所描述的几何图像包括一个长方体（类似于立方体，但其面可以是矩形而不是正方形），这个长方体坐落在由晶格点（即空间中规则排列的点）组成的集合上。梅纳德发现，与质数相关的“音符”通常非常微弱，对他研究的方程影响不大。但是，当某个长方体内部包含的晶格点数量异常多时，这些“音符”就会变得非常“刺耳”，即对方程求解产生显著的影响，甚至可能引发方程中的问题，导致求解过程变得更加复杂和困难。通过使用几何图像，梅纳德能够直观地识别出哪些情况会导致方程中的“音符”变得“刺耳”（即引发方程中的问题项）。他借助这种几何图像，预见并处理了可能导致数学方程中复杂结果的因素。这种从“音乐”到“图像”的转换，不仅展现了数学研究中的创造性思维，还帮助他有效地解决了复杂的数学问题。“这种跨学科的整合正是现代数学的典型特征，”梅纳德说。“你经常会将许多不同的数学领域联系在一起，甚至可能从物理和工程学中汲取灵感，而这些领域通常你不会认为它们有任何关联。如果提到‘素数’，没人会想到音乐，也没人会想到晶格结构中的长方体。但事实证明，上面这些领域能够相互关联在一起，而这种不同技术的结合在数学中已被证明非常有用。”梅纳德希望，这些不同的技术能在解决关于不含 7 的素数问题时如此巧妙地结合在一起，也能应用于其他素数问题。

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